Beschränktes (begrenztes) Wachstum mit DGL
Die Differenzialgleichung vom begrenzten Wachstum (=beschränkten Wachstum) lautet: f'(t)=k*(G-f(t)). f'(t) ist die Zunahme (oder Abnahme) des Bestandes, G-f(t) heißt Sättigungsmanko und ist der Wert um welchen der Bestand noch zu- oder abne…
Rechenbeispiele
Zu dieser Lerneinheit gibt es 6 gerechnete Beispiele mit Video.
Aufgabe 2
Ein Schüler, der sein Abitur vermasselt hat, muss seinem Onkel „preisgünstig“ auf dem Bau helfen. Es ist heiß und er schwitzt. Der prozentuale Anteil der Flüssigkeitsmenge seines Körpers wird in etwa durch f(t)=60–a·e-0,4·t beschrieben (t in Stunden, f(t) in Prozent).
a) Zeigen Sie, dass das Wachstum von f(t) durch die Differenzialgleichung f'(t)=0,4·[60–f(t)] beschrieben wird.
b) Bestimmen Sie „a“, wenn der Körper anfangs zu 90% aus Wasser besteht.
c) Welcher prozentuale Wasseranteil wird sich langfristig einstellen?
d) Wann sind 75% erreicht?
Die Differenzialgleichung vom begrenzten Wachstum (=beschränkten Wachstum) lautet: f'(t)=k*(G-f(t)). f'(t) ist die Zunahme (oder Abnahme) des Bestandes, G-f(t) heißt Sättigungsmanko und ist der Wert um welchen der Bestand noch zu- oder abnehmen kann (also die Differenz von Grenze und aktuellem Bestand). Damit sagt die Differenzialgleichung aus, dass die momentane Änderung des Bestands proportional zum Sättigungsmanko ist. Die Parameter „k“ und „G“ tauchen auch in der Funktionsgleichung auf und heißen: k = Wachstumsfaktor = Proportionalitätsfaktor, G = Grenze = S= Schranke.
Formeln & Merksätze
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